Elon Musk ha presentato Tesla Model S Plaid come l’auto di serie più performante mai prodotta: 322 km/h di velocità massima, accelerazione da 0 a 100 km/h in 1,99 secondi, quarto di miglio in 9,33 secondi e 628 km di autonomia. Il patron di Tesla ha svelato per la prima volta anche la curva di potenza del suo powertrain.
Partendo da questi dati e da altri usciti nel frattempo Massimo Ceraolo, Professore di Veicoli Elettrici e Ibridi presso Ingegneria dei Veicoli all’Università di Pisa, ha fatto per VaiElettrico uno studio analitico sulle prestazioni della vettura confrontando i numeri di Musk con i modelli teorici e, successivamente, inserendoli nel simulatore delli Università. Ecco i risultati.
di Massimo Ceraolo
L’uscita della Tesla Model S Plaid sul mercato ha incuriosito tutti gli appassionati di auto elettriche e di auto in generale. Le prestazioni assolutamente straordinarie in un’auto che ha un prezzo molto inferiore ad auto a combustione con prestazioni velocistiche paragonabili è un evento che non può lasciare indifferenti.
Un fatto particolarmente degno di nota per i tecnici è che durante la presentazione lo stesso Elon Musk ha svelato la curva di erogazione della potenza, confrontandola con altre Tesla, il che ci consente di effettuare molte analisi.
In questo articolo riprendiamo quanto visto in precedenti articoli pubblicati su VaiElettrico ed analizziamo il comportamento della Tesla Plaid alla luce delle informazioni tecniche disponibili e del modello del power train di un veicolo elettrico privo di cambio (come quasi tutti sono), come l’avevamo presentato in quell’articolo.
Per leggere questo articolo occorre quindi aver letto almeno il mio articolo su VaiElettrico Capire i veicoli-elettrici/5 e occorre inoltre sapere usare la matematica che tutti imparano nelle scuole secondarie: i licei, le scuole professionali, le scuole industriali. Alcuni richiami di quella matematica sono presenti nel mio articolo su VaiElettrico Capire i veicoli-elettrici-1
I numeri di Tesla Plaid 1 / L’erogazione di potenza
La curva di erogazione di potenza della Plaid, come fornita durante la sua presentazione dallo stesso Musk, è riportata in figura 1.
Per prima cosa ci chiediamo se questo andamento ha qualcosa a che vedere con gli andamenti idealizzati che abbiamo presentato nel già richiamato articolo Veicoli-elettrici-5, considerando in particolare la figura 2,
tratta da quell’articolo.
Ovviamente di questa figura ci interessa la curva rossa, relativa al veicolo elettrico.
Possiamo riscrivere questa figura mostrando ora oltre alla curva rossa (forza o coppia alle ruote), anche la curva della potenza.
Ricordiamo che passare dalla coppia alla potenza è immediato: la potenza è pari alla forza (che spinge il veicolo) per la sua velocità, ma anche alla coppia per la velocità angolare. Anche di questo abbiamo parlato in Veicoli-elettrici-5.
Possiamo quindi adesso tracciare i diagrammi mostrati in figura 3.
La curva della potenza P è ottenuta moltiplicando, per ogni valore della velocità, la coppia T per la velocità angolare del nostro motore riportata sull’asse delle ascisse: P = TΩ. Qui i valori numerici non vanno letti in newton-metro per le coppie, o in giri al minuto per le velocità angolari e in watt per le potenze, ma si tratta di scale di fantasia. Ance se con una scala di fantasia possiamo verificare con i numeri che la potenza rimane sempre costante per vari valori di velocità. Ad esempio: per Ω = 0,3 otteniamo 𝑃 = 0,3 × 1 =
0,3; per Ω = 0,6 𝑃 = 0,6 × 0,5 = 0,3, per Ω = 0,1 𝑃 = 0,3 × 1 = 0,3.
La figura mostra come l’andamento della coppia che abbiamo visto nella figura precedente comporti una potenza che cresce con andamento rettilineo (si dice cresce linearmente) fino alla velocità base, qui pari a 0,2, e poi resti costante.
Un andamento molto simile a quello della plaid, come si può vedee dalla seguente figura
Questo giustifica bene il fatto che Tesla ha etichettato l’andamento della plaid, molto simile a quello della curva rossa nel grafico precedente “The perfect power curve”.
La velocità in cui si passa dal tratto a coppia costante al tratto a potenza costante come abbiamo visto è denominata velocità base del veicolo. Nel caso della figura 2 è pari a circa un sesto della velocità massima, mentre per la Tesla è un po’ più alta, oltre un quarto.
Possiamo vedere la curva “ideale” della potenza (curva rossa nella figura qui sopra) così:
– in linea di massima vogliamo poter sfruttare la potenza del nostro motore in ampi intervalli di velocità. Quindi partendo dalla velocità massima, a scendere manteniamo la potenza erogabile massima costante
– man mano che analizziamo velocità sempre più basse, essendo 𝑃 = 𝐹𝑣 = 𝑇Ω = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, se riduciamo v si aumenta contemporaneamente la forza F di scambio fra ruota e asfalto (contemporaneamente si riduce Ω in proporzione a 𝑣 e aumenta 𝑇 in proporzione a 𝐹).
– A forza di ridurre la velocità (v e quindi Ω) arriviamo ad un punto in cui F raggiunge un limite oltre il quale non si può andare: vuoi perché abbiamo raggiunto la massima forza per cui il nostro power-train è dimensionato, vuoi perché abbiamo raggiunto la massima forza di scambio che una ruota può trasmettere all’asfalto, oltre la quale le ruote motrici slittano. Nella maggior parte delle automobili il tratto a coppia massima costante si ha per forze di scambio molto inferiori al limite di slittamento; non è questo però il caso della Plaid nella quale, vedremo meglio più in là, siamo proprio in corrispondenza di questo limite.
I numeri di Tesla Plaid 2 / L’incredibile power train
Nell’articolo Veicoli-elettrici-5 abbiamo mostrato uno schema semplice ma efficace in grado di descrivere la struttura del power train di un veicolo elettrico a batteria.
La curva della potenza presentata da Musk è etichettata come “motor power”, quindi potenza erogata dal motore; la potenza erogata alle ruote dovrebbe quindi essere leggermente inferiore a quella del grafico, in quanto un riduttore reale ha delle perdite di potenza. La potenza alle ruote sarà pari alla potenza erogata dal motore, moltiplicata per l’efficienza dl riduttore che potrebbe essere, nell’intervallo 96-98% (non ci è
dato di sapere il valore esatto del riduttore della Tesla).
Un’efficienza così alta comporta riduzioni della potenza molto modeste, che in questo articolo trascureremo. Immagineremo quindi che la potenza all’uscita del riduttore sia esattamente pari a quella al suo ingresso.
Per il resto il power train della plaid non è molto dissimile da quello riportato nella figura 5: la differenza principale consiste nel fatto che abbiamo tre motori invece di uno, ognuno da circa 253 kW. Lo schema equivalente dell’auto, per i nostri scopi, può ancora essere quello delle figura 5, sommando fra loro le potenze di tre motori, e avendo quindi un unico motore da 760 kW.
La massima potenza che la batteria dovrà erogare sarà superiore a 760 kW; in quanto sia l’inverter (o meglio gli inverter, uno per ogni motore) che i motori hanno anch’essi un’efficienza inferiore al 100% e quindi per fare erogare loro 𝑃𝑚𝑒𝑐𝑐=760 kW meccanici la batteria dovrà erogare agli inverter una potenza elettrica.
Cioè: la potenza erogata dalla batteria 𝑃𝐷𝐶 è pari alla potenza meccanica divisa per il prodotto dell’efficienza dell’inverter 𝜂𝑖𝑛𝑣 e del motore 𝜂𝑚𝑜𝑡. Se ad esempio queste due efficienze sono del 95%, il loro valore da usare nella formula di sopra è 0,95; nel caso ad esempio in cui fosse 𝑃𝑚𝑒𝑐𝑐 = 760 kW (che corrispondono a 1020 HP) sarà
Nel medesimo power train ci possiamo chiedere che relazione ci sia fra la velocità massima dei motori, in giri al minuto, e la velocità della Tesla.
Questo può essere fatto agevolmente fidandoci dei numeri riportati nell’articolo insideevs plaid riguardo al rapporto del riduttore 𝑟 e al raggio della ruota 𝑅:
𝑟 = 9,34 𝑅 = 0,3414m
La formula che lega la velocità angolare dell’albero della ruota Ω𝑅 (nell’unità di misura dei fisici e degli ingegneri: rad/s) alla velocità del veicolo 𝑣 è:
La formula che lega la velocità angolare Ω𝑚𝑜𝑡 di ognuno dei motori alla velocità angolare delle rispettive ruote è:
Ω𝑚𝑜𝑡 = 𝑟Ω𝑅
Infine, la velocità angolare del motore in giri al minuito Ω𝑚,𝑟𝑝𝑚 è legata a quella in radianti al secondo dalla formula:
Mettendo tutto insieme otteniamo:
Se vogliamo usare questa formula dobbiamo misurare la velocità 𝑣 nell’unità di misura giusta, quindi in m/s. La velocità in m/s si ottiene dividendo la velocità in km/h per 3,6. Quindi, considerando che la massima velocità della Plaid è 200 miglia all’ora quindi 322 km/s, sarà 𝑣 = 89,41 m/s.
Siamo alla fine del percorso: la velocità massima in giri al minuto dei motori della plaid viene:
Ω𝑚,𝑟𝑝𝑚 = 23.360 rpm
E’ un valore un po’ altino in quanto Musk ha dichiarato che la velocità è “20000 giri al minuto, anche di più” lasciando presagire un valore di poco superiore a 20000 rpm (comunque altissimo, superiore a quella dei motori di formula 1!). E’ comunque il numero che discende dai valori che abbiamo usato per le varie grandezze, presi dall’articolo insideevs plaid, e coerente (salvo una minima differenza) con il valore
riportato nel medesimo articolo, nel quale gli autori hanno evidentemente fatto pressoché il medesimo calcolo che noi abbiamo fatto qui.
I numeri di Tesla Plaid 4/ La resistenza al moto
Nell’articolo Veicoli-elettrici-4 abbiamo visto che la resistenza al moto di un veicolo che marcia in piano è data dalla formula:
𝐹𝑅 = 𝐴 + 𝐵 𝑣2
Ora, per fare i calcoli che vogliamo fare, dobbiamo sostituire ad A e B delle formule che ne mostrano il dettaglio interno. In tal modo si ottiene la formula più completa (ma equivalente). Si ottiene, per la marcia in piano:
Dove
-𝑓 è il coefficiente di attrito di rotolamento, pari usualmente a poche unità percentuali
-𝑚 è la massa del veicolo. Il suo valore in kg è pari al peso espresso in kg del veicolo. Dobbiamo includere nella massa anche quella delle persone trasportate e degli eventuali bagagli
-𝑔 è l’accelerazione di gravità pari a 9,81 m/s2
-𝜌 è alla densità dell’aria pari, al livello del mare e temperature ordinarie, a 1,225 kg/m3
-𝐶𝑥 è il coefficiente di penetrazione aerodinamica, sicuramente noto a tutti i lettori. In molti documenti è chiamato 𝐶𝐷
-𝑆 è la sezione frontale del veicolo (se immaginiamo ad es. il veicolo come un parallelepipedo, che si muove con la sua base in avanti, S è proprio l’area di base del parallelepipedo, espressa in m2)
-𝑣 è la velocità del veicolo in m/s, che si ottiene, come ho detto sopra, dividendo la velocità in km/h per 3,6.
In questa lunga lista ho citato i valori numerici solo di 𝑔 e 𝜌, che sono uguali per tutti i veicoli.
Ma dove possiamo trovare per la nostra Plaid gli altri valori? Siamo fortunati: nell’articolo insideevs plaid ci sono tutti, e tutti i calcoli che ho fatto mostrano che si tratta di numeri molto ragionevoli e prossimi ai valori effettivi della Paid. Abbiamo quindi per la nostra auto:
La potenza che va messa in gioco per vincere la resistenza al moto è come sempre il prodotto di forza per velocità. Quindi per vincere la resistenza al moto occorrerà impiegare la potenza:
Possiamo ora mettere su uno stesso diagramma cartesiano la potenza della Plaid del grafico di Elon, e 𝑃𝑅. Otteniamo il seguente grafico.
Si vede come la potenza massima che il motore può erogare (curva blu) è sempre molto superiore a quella che serve per vincere la resistenza al moto (curva rossa).
Questo è fondamentale in quanto lo scarto fra le due potenze serve per accelerare: se esse fossero uguali la velocità resterebbe tristemente costante. Qui il margine è enorme! Ecco perché questa macchina è in grado di accelerare così tanto. La situazione può essere analizzata anche riportando sull’asse verticale non le potenze ma le forze, come nella seguente figura:
La differenza fra le due curve, per la legge fondamentale della dinamica (legge del moto di Newton) è pari al prodotto di massa per accelerazione. Ricordiamo che la curva superiore corrisponde alla massima forza (quindi coppia del motore) possibile, cioè ad una accelerata con il piede a tavoletta sull’acceleratore.
Sull’asse verticale abbiamo come unità di misura delle forze quella standard della fisica, il newton nel suo multiplo il chilo newton. Come ho detto in altre occasioni, per avere un’idea di quanto sia un newton si può considerare che è circa pari alla forza-peso di un ettogrammo di materia (la forza che percepiamo quando lo sorreggiamo con la mano). Ad esempio il peso di un ettogrammo di affettato acquistato al supermercato.
Guardando le curve del grafico qui sopra, possiamo osservare a titolo di esempio che a 100 km/h la differenza fra di esse sia 26.480 N. Se dividiamo questo valore per la massa della plaid, pari come si è visto a 2.322 kg, otteniamo a 100 km/h un’accelerazione, sebbene ridotta rispetto a quella che abbiamo alle velocità più basse, ancora pari a 11,40 m/s2: superiore all’accelerazione di gravità! È straordinario che alla velocità di 100 km/h ci sia ancora un’accelerazione così elevata.
Essendo superiore a quella di gravità le persone a bordo si sentiranno schiacciate contro lo schienale delle sedute con una forza addirittura superiore al proprio peso.
Nel prossimo articolo utilizzeremo tutti i dati che abbiamo discusso qui della Tesla Plaid all’interno di un simulatore, con il quale ne potremo valutare le prestazioni.
1/continua
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